Driven oscillations of a mass on a nonlinear spring

Driven oscillations of a mass on a nonlinear spring

Annotation to the project

This project gives an idea about nonlinear oscillation of the load with the periodic force acting on it.

Formulation of the problem

Let’s put that the load on nonlinear spring has mass m and experiencing the action of an external force F, which has a law F = sin (t).

• Task: formulate the problem on JavaScript which modulate motion of the load with different parameters of the system.
  

Overview

If the periodically changing of the external force is acting on the system, the system performs oscillations which repeat the pattern of changes of this force. Such oscillations are called forced.

F0 is the force amplitude and the greatest value of the force.

Because of the work of an external force, the maximum value of the potential energy of the spring and the kinetic energy of the load increase. This will increase the loss on overcome the resistance forces. In the end the work of the external force will exactly offset the energy losses in the system. Further growth of the oscillations in the system will stop and oscillations will be established with a constant amplitude.

A typical plot of the amplitude function

Equation of motion: [math]m\ddot x = -kx -{k_1}x^3 + {F_0}sin(t) - B \dot x[/math]

Visualization on JavaScript

Download program: SpringNoLine.rar

The Text of the program is written in JavaScript (developed by Pavel Kiselev):

  window.addEventListener("load", Main_Spring, true);
   function Main_Spring() {
   var canvas = spring_canvas;
   canvas.onselectstart = function () {return false;};     // запрет выделения canvas
   var ctx = canvas.getContext("2d");                      // на ctx происходит рисование
   var w = canvas.width;                                   // ширина окна в расчетных координатах
   var h = canvas.height;                                  // высота окна в расчетных координатах
   var Pi = 3.1415926;                                     // число "пи"
   var m0 = 1;                                             // масштаб массы
   var T0 = 1;                                             // масштаб времени (период колебаний исходной системы)
   var t = 0;
   var k0 = 2 * Pi / T0;                                   // масштаб частоты
   var C0 = m0 * k0 * k0;                                  // масштаб жесткости
   var B0 = 2 * m0 * k0;                                   // масштаб вязкости
   var omega = 10;
   
   // *** Задание физических параметров ***
   var F = 80;
   var m = 1 * m0;                                         // масса
   var C = 1 * C0;                                         // жесткость
   var C1 = 1 * C0;                                        // жесткость1
   var B = .1 * B0;                                        // вязкость
   
   slider_m.value = (m / m0).toFixed(1); number_m.value = (m / m0).toFixed(1);
   slider_C.value = (C / C0).toFixed(1); number_C.value = (C / C0).toFixed(1);
   slider_C1.value = (C / C0).toFixed(1); number_C1.value = (C / C0).toFixed(1);
   slider_B.value = (B / B0).toFixed(1); number_B.value = (B / B0).toFixed(1);
   slider_F.value = (F / 40).toFixed(1); number_F.value = (F / 40).toFixed(1);

   // *** Задание вычислительных параметров ***

   var fps = 300;                                  // frames per second - число кадров в секунду (качечтво отображения)
   var spf = 100;                                  // steps per frame   - число шагов интегрирования между кадрами
   var dt  = 0.05 * T0 / fps;                      // шаг интегрирования (качество расчета)
   var steps = 0;                                  // количество шагов интегрирования

   function setM(new_m) {m = new_m * m0;}
   function setC(new_C) {C = new_C * C0;}
   function setC1(new_C1) {C1 = new_C1 * C0 * 0.067;}
   function setB(new_B) {B = new_B * B0;}
   function setF(new_F) {F = new_F * 40;}

   slider_m.oninput = function() {number_m.value = slider_m.value;       setM(slider_m.value);};
   number_m.oninput = function() {slider_m.value = number_m.value;       setM(number_m.value);};
   slider_C.oninput = function() {number_C.value = slider_C.value;       setC(slider_C.value);};
   number_C.oninput = function() {slider_C.value = number_C.value;       setC(number_C.value);};
   slider_C1.oninput = function() {number_C1.value = slider_C1.value;       setC1(slider_C1.value);};
   number_C1.oninput = function() {slider_C1.value = number_C1.value;       setC1(number_C1.value);};
   slider_B.oninput = function() {number_B.value = slider_B.value;       setB(slider_B.value);};
   number_B.oninput = function() {slider_B.value = number_B.value;       setB(number_B.value);};
   slider_F.oninput = function() {number_F.value = slider_F.value;       setF(slider_F.value);};
   number_F.oninput = function() {slider_F.value = number_F.value;       setF(number_F.value);};

   var count = true;                   // проводить ли расчет системы
   var v = 0;                          // скорость тела

   var rw = canvas.width / 30;         
   var rh = canvas.height / 1.5;
   var x0 = 15 * rw - rw / 2;          
   var y0 = rh / 1.33 - rh / 2;

   // параметры пружины
   var coil = 10;        // количество витков
   var startX = 0;       // закрепление пружины

   // создаем прямоугольник-грузик
   var rect = {
       x: x0,  width: rw,
       y: y0,  height: rh,
       fill: "rgba(0, 0, 255, 1)"      // цвет
   };

   // захват прямоугольника мышью
   var mx_;                                    // буфер позиции мыши (для расчета скорости при отпускании шара)
   document.onmousedown = function(e) {        // функция при нажатии клавиши мыши
       var m = mouseCoords(e);                 // получаем расчетные координаты курсора мыши

       var x = rect.x;
       var xw = rect.x + rect.width;
       var y = rect.y;
       var yh = rect.y + rect.height;
       if (x <= m.x && xw >= m.x   && y <= m.y && yh >= m.y) {
           if (e.which == 1) {                         // нажата левая клавиша мыши
               rect.xPlus = rect.x - m.x;              // сдвиг курсора относительно грузика по x
               rect.yPlus = rect.y - m.y;              // сдвиг курсора относительно грузика по y
               mx_ = m.x;
               count = false;
               document.onmousemove = mouseMove;       // пока клавиша нажата - работает функция перемещения
           }
       }
   };

   document.onmouseup = function(e) {          // функция при отпускании клавиши мыши
       document.onmousemove = null;              // когда клавиша отпущена - функции перемещения нету
       count = true;
   };

   function mouseMove(e) {                     // функция при перемещении мыши, работает только с зажатой ЛКМ
       var m = mouseCoords(e);                 // получаем расчетные координаты курсора мыши
       rect.x = m.x + rect.xPlus;

// v = 6.0 * (m.x - mx_) / dt / fps; // сохранение инерции

       v = 0;
       mx_ = m.x;
   }

   function mouseCoords(e) {                   // функция возвращает расчетные координаты курсора мыши
       var m = [];
       var rect = canvas.getBoundingClientRect();
       m.x = (e.clientX - rect.left);
       m.y = (e.clientY - rect.top);
       return m;
   }

   // график
   var vGraph = new TM_graph(                  // определить график
       "#vGraph",                              // на html-элементе #vGraph
       250,                                    // сколько шагов по оси "x" отображается
       -1, 1, 0.2);                            // мин. значение оси Y, макс. значение оси Y, шаг по оси Y

   function control() {
       calculate();
       draw();
       requestAnimationFrame(control);
   }
   control();

// setInterval(control, 1000 / fps); // Запуск системы

   function calculate() {
       if (!count) return;
       for (var s=1; s<=spf; s++) {
           var f = -B*v - C * (rect.x - x0) - C1*Math.pow(rect.x - x0,3)+2*F*Math.sin(t);
                       v += f / m * dt;
                       //console.log(f);
           rect.x += v * dt;
                       t+= dt;
           steps++;
           if (steps % 80 == 0) vGraph.graphIter(steps, (rect.x-x0)/canvas.width*2);   // подать данные на график
       }

   }

   function draw() {
       ctx.clearRect(0, 0, w, h);
               draw_spring(startX, rect.x, h/2, 10, 50);
       ctx.fillStyle = "#0000ff";
       ctx.fillRect(rect.x, rect.y, rect.width, rect.height);
   }

       function draw_spring(x_start, x_end, y, n, h) {
           ctx.lineWidth = 2;
       ctx.strokeStyle = "#7394cb";
               var L = x_end - x_start;
               for (var i = 0; i < n; i++) {
                       var x_st = x_start + L / n * i;
                       var x_end = x_start + L / n * (i + 1);
                       var l = x_end - x_st;
                       ctx.beginPath();
                       ctx.bezierCurveTo(x_st, y, x_st + l / 4, y + h, x_st + l / 2, y);
                       ctx.bezierCurveTo(x_st + l / 2, y, x_st + 3 * l / 4, y - h, x_st + l, y);
                       ctx.stroke();
               }
       }

}